Perbezaan Antara Siri Power dan Siri Taylor

2024 Pengarang: Alex Aldridge | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 13:46

Siri Kuasa lwn Siri Taylor

Dalam matematik, jujukan sebenar ialah senarai nombor nyata tersusun. Secara formal, ia adalah fungsi daripada set nombor asli ke set nombor nyata. Jika a_n ialah n^th sebutan bagi suatu jujukan, kami menandakan jujukan dengan atau dengan ₁, a ₂, …, a_n, …. Sebagai contoh, pertimbangkan urutan 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Ia boleh dilambangkan sebagai {1/n}.}

Adalah mungkin untuk menentukan siri menggunakan jujukan. Siri ialah jumlah sebutan bagi suatu jujukan. Oleh itu, bagi setiap jujukan, terdapat jujukan yang berkaitan dan begitu juga sebaliknya. Jika {a_{n} ialah jujukan yang sedang dipertimbangkan, maka, siri yang dibentuk oleh jujukan itu boleh diwakili sebagai:}

Oleh itu, dalam contoh di atas, siri yang berkaitan ialah 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Seperti yang dicadangkan oleh namanya, siri kuasa ialah jenis siri khas dan ia digunakan secara meluas dalam Analisis Berangka dan pemodelan matematik yang berkaitan. Siri Taylor ialah siri kuasa khas yang menyediakan cara alternatif dan mudah dimanipulasi untuk mewakili fungsi yang terkenal.

Apakah siri Kuasa?

Siri kuasa ialah satu siri bentuk

yang menumpu (mungkin) untuk beberapa selang berpusat pada c. Pekali a_{nboleh menjadi nombor nyata atau kompleks, dan bebas daripada x; iaitu pembolehubah tiruan.}

Sebagai contoh, dengan menetapkan a_n=1 untuk setiap n, dan c=0, siri kuasa 1+x+x² +…..+ x^{+… diperolehi. Adalah mudah untuk diperhatikan bahawa apabila x ε (-1, 1), siri kuasa ini menumpu kepada 1/(1-x).}

Siri kuasa menumpu apabila x=c. Nilai lain bagi x yang mana siri kuasa menumpu akan sentiasa dalam bentuk selang terbuka berpusat pada c. Iaitu, akan ada nilai 0≤ R ≤ ∞ supaya bagi setiap x memuaskan |x-c|≤ R, siri kuasa adalah menumpu dan bagi setiap x memuaskan |x-c|> R, siri kuasa adalah berbeza. Nilai R ini dipanggil jejari penumpuan siri kuasa (R boleh mengambil sebarang nilai sebenar atau infiniti positif).

Siri kuasa boleh ditambah, ditolak, didarab dan dibahagikan menggunakan peraturan berikut. Pertimbangkan dua siri kuasa:

Kemudian,

iaitu. istilah seperti ditambah atau ditolak bersama. Selain itu, adalah mungkin untuk mendarab dan membahagikan dua siri kuasa menggunakan identiti,

Apakah siri Taylor?

Siri Taylor ditakrifkan untuk fungsi f (x) yang boleh dibezakan secara tak terhingga pada selang waktu. Andaikan f (x) boleh dibezakan pada selang berpusat pada c. Kemudian siri kuasa yang diberikan oleh

dipanggil pengembangan siri Taylor bagi fungsi f (x) tentang c. (Di sini f⁽ⁿ⁾ (c) menandakan n^{th derivatif pada x=c). Dalam Analisis Berangka, bilangan terhingga istilah dalam pengembangan tak terhingga ini digunakan dalam mengira nilai pada titik di mana siri itu menumpu kepada fungsi asal.}

A fungsi f (x) dikatakan analitik dalam selang (a, b), jika bagi setiap x ε (a, b), siri Taylor bagi f (x) menumpu kepada fungsi f (x). Contohnya, 1/(1-x) adalah analitik pada (-1, 1), kerana pengembangan Taylornya 1+x+x²+….+ x ^{+… menumpu kepada fungsi pada selang itu dan e}x ^{adalah analitik di mana-mana, kerana siri Taylor e}x ^{menumpu kepada e} x ^{untuk setiap nombor nyata x.}

Apakah perbezaan antara siri Power dan siri Taylor?

1. Siri Taylor ialah kelas khas siri kuasa yang ditakrifkan hanya untuk fungsi yang boleh dibezakan secara tak terhingga pada beberapa selang waktu terbuka.

2. Siri Taylor mengambil bentuk istimewa

manakala, siri kuasa boleh menjadi sebarang siri dalam bentuk