Ortogonal lwn Ortonormal
Dalam matematik, dua perkataan ortogon dan ortonormal kerap digunakan bersama-sama dengan set vektor. Di sini, istilah 'vektor' digunakan dalam erti kata bahawa ia adalah elemen ruang vektor - struktur algebra yang digunakan dalam algebra linear. Untuk perbincangan kami, kami akan mempertimbangkan ruang produk dalam – ruang vektor V bersama dengan produk dalam yang ditakrifkan pada V.
Sebagai contoh, untuk produk dalam, ruang ialah set semua vektor kedudukan 3 dimensi bersama-sama dengan produk titik biasa.
Apakah itu ortogon?
Sebuah subset S yang tidak kosong bagi ruang hasil dalam V dikatakan ortogon, jika dan hanya jika untuk setiap u, v yang berbeza dalam S, [u, v]=0; iaitu hasil darab dalam u dan v adalah sama dengan skalar sifar dalam ruang hasil dalam.
Sebagai contoh, dalam set semua vektor kedudukan 3 dimensi, ini bersamaan dengan mengatakan bahawa, bagi setiap pasangan vektor kedudukan p dan q yang berbeza dalam S, p dan q adalah berserenjang antara satu sama lain. (Ingat bahawa hasil darab dalam dalam ruang vektor ini ialah hasil darab titik. Selain itu, hasil darab titik dua vektor adalah sama dengan 0 jika dan hanya jika dua vektor itu berserenjang antara satu sama lain.)
Pertimbangkan set S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, yang merupakan subset bagi vektor kedudukan 3 dimensi. Perhatikan bahawa (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0), 5)=0. Oleh itu, set S ialah ortogon. Khususnya, dua vektor dikatakan ortogon jika hasil darab dalamannya ialah 0. Oleh itu, setiap pasangan vektor dalam Sis ortogon.
Apakah itu ortonormal?
Suset tak kosong S bagi ruang hasil dalam V dikatakan ortonormal jika dan hanya jika S ialah ortogon dan bagi setiap vektor u dalam S, [u, u]=1. Oleh itu, dapat dilihat bahawa setiap set ortonormal adalah ortogon tetapi bukan sebaliknya.
Sebagai contoh, dalam set semua vektor kedudukan 3 dimensi, ini bersamaan dengan mengatakan bahawa, untuk setiap pasangan vektor kedudukan p dan q yang berbeza dalam S, p dan q adalah berserenjang antara satu sama lain, dan untuk setiap p dalam S, |p|=1. Ini kerana keadaan [p, p]=1 berkurangan kepada p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, yang bersamaan dengan |p |=1. Oleh itu, memandangkan set ortogonal kita sentiasa boleh membentuk set ortonormal yang sepadan dengan membahagikan setiap vektor dengan magnitudnya.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} ialah subset ortonormal bagi set semua vektor kedudukan 3 dimensi. Adalah mudah untuk melihat bahawa ia diperoleh dengan membahagikan setiap vektor dalam set S, dengan magnitudnya.
Apakah perbezaan antara ortogon dan ortonormal?
- Suset tak kosong S bagi ruang hasil dalam V dikatakan ortogon, jika dan hanya jika untuk setiap u berbeza, v dalam S, [u, v]=0. Walau bagaimanapun, ia adalah ortonormal, jika dan hanya jika syarat tambahan – untuk setiap vektor u dalam S, [u, u]=1 dipenuhi.
- Sebarang set ortonormal adalah ortogon tetapi bukan sebaliknya.
- Sebarang set ortogon sepadan dengan set ortogonal yang unik tetapi set ortonormal mungkin sepadan dengan banyak set ortogon.
