Acara Saling Eksklusif lwn Bebas
Orang ramai sering mengelirukan konsep acara saling eksklusif dengan acara bebas. Sebenarnya, ini adalah dua perkara yang berbeza.
Biar A dan B ialah mana-mana dua peristiwa yang dikaitkan dengan eksperimen rawak E. P(A) dipanggil “Kebarangkalian A”. Begitu juga, kita boleh mentakrifkan kebarangkalian B sebagai P(B), kebarangkalian A atau B sebagai P(A∪B), dan kebarangkalian A dan B sebagai P(A∩B). Kemudian, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Walau bagaimanapun, dua peristiwa dikatakan saling eksklusif jika kejadian satu peristiwa tidak menjejaskan yang lain. Dalam erti kata lain, ia tidak boleh berlaku serentak. Oleh itu, jika dua peristiwa A dan B adalah saling eksklusif maka A∩B=∅ dan oleh itu, itu membayangkan P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Biar A dan B ialah dua peristiwa dalam ruang sampel S. Kebarangkalian bersyarat bagi A, memandangkan B telah berlaku, dilambangkan dengan P(A | B) dan ditakrifkan sebagai; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), dengan syarat P(B)>0. (jika tidak, ia tidak ditakrifkan.)
Peristiwa A dikatakan bebas daripada peristiwa B, jika kebarangkalian A berlaku tidak dipengaruhi sama ada B telah berlaku atau tidak. Dalam erti kata lain, keputusan peristiwa B tidak mempunyai kesan ke atas keputusan peristiwa A. Oleh itu, P(A | B)=P(A). Begitu juga, B adalah bebas daripada A jika P(B)=P(B | A). Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa jika A dan B ialah peristiwa bebas, maka P(A∩B)=P(A). P(B)
Anggapkan bahawa kubus bernombor digulung dan syiling saksama diterbalikkan. Biarkan A ialah peristiwa yang memperoleh kepala dan B ialah peristiwa yang menggolek nombor genap. Kemudian kita boleh menyimpulkan bahawa peristiwa A dan B adalah bebas, kerana hasil satu itu tidak mempengaruhi keputusan yang lain. Oleh itu, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Oleh kerana P(A∩B)≠0, A dan B tidak boleh saling eksklusif.
Andaikan sebuah guli mengandungi 7 guli putih dan 8 guli hitam. Takrifkan peristiwa A sebagai lukisan guli putih dan peristiwa B sebagai lukisan guli hitam. Dengan mengandaikan setiap guli akan diganti selepas mencatat warnanya, maka P(A) dan P(B) akan sentiasa sama, tidak kira berapa kali kita melukis dari bekas. Menggantikan guli bermakna kebarangkalian tidak berubah dari cabutan ke cabutan, tidak kira apa warna yang kita pilih pada cabutan terakhir. Oleh itu, acara A dan B adalah bebas.
Namun, jika guli dilukis tanpa ganti, maka semuanya berubah. Di bawah andaian ini, peristiwa A dan B adalah tidak bebas. Melukis guli putih pada kali pertama mengubah kebarangkalian untuk melukis guli hitam pada cabutan kedua dan seterusnya. Dalam erti kata lain, setiap cabutan mempunyai kesan pada cabutan seterusnya, jadi cabutan individu tidak bebas.
Perbezaan Antara Acara Saling Eksklusif dan Bebas
– Eksklusiviti bersama peristiwa bermakna tiada pertindihan antara set A dan B. Kebebasan peristiwa bermakna berlakunya A tidak menjejaskan kejadian B.
– Jika dua peristiwa A dan B saling eksklusif, maka P(A∩B)=0.
– Jika dua peristiwa A dan B tidak bersandar, maka P(A∩B)=P(A). P(B)
