Derivatif lwn Pembeza
Dalam kalkulus pembezaan, terbitan dan pembezaan fungsi adalah berkait rapat tetapi mempunyai makna yang sangat berbeza, dan digunakan untuk mewakili dua objek matematik penting yang berkaitan dengan fungsi boleh dibezakan.
Apakah itu terbitan?
Terbitan fungsi mengukur kadar perubahan nilai fungsi apabila inputnya berubah. Dalam fungsi berbilang pembolehubah, perubahan dalam nilai fungsi bergantung kepada arah perubahan nilai pembolehubah bebas. Oleh itu, dalam kes sedemikian, arah tertentu dipilih dan fungsi dibezakan dalam arah tertentu itu. Derivatif itu dipanggil derivatif arah. Terbitan separa ialah jenis terbitan berarah khas.
Terbitan bagi fungsi bernilai vektor f boleh ditakrifkan sebagai had [lateks]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/lateks] di mana sahaja ia wujud secara terhingga. Seperti yang dinyatakan sebelum ini, ini memberi kita kadar peningkatan fungsi f sepanjang arah vektor u. Dalam kes fungsi nilai tunggal, ini mengurangkan kepada takrifan terbitan yang terkenal, [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/lateks]
Sebagai contoh, [lateks]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateks] boleh dibezakan di mana-mana, dan terbitan adalah sama dengan had, [lateks]\\lim_{h \\hingga 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/lateks], iaitu sama dengan [lateks]3x^{2}+4[/lateks]. Terbitan fungsi seperti [lateks]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/lateks] wujud di mana-mana. Mereka masing-masing sama dengan fungsi [lateks]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/lateks].
Ini dikenali sebagai terbitan pertama. Biasanya terbitan pertama bagi fungsi f dilambangkan dengan f (1) Sekarang menggunakan tatatanda ini, adalah mungkin untuk mentakrifkan terbitan tertib tinggi. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\hingga 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/lateks] ialah terbitan arah tertib kedua, dan menandakan n th derivatif oleh f (n) untuk setiap n, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\hingga 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/lateks], mentakrifkan n th terbitan.
Apakah itu pembezaan?
Pembezaan fungsi mewakili perubahan dalam fungsi berkenaan dengan perubahan dalam pembolehubah bebas atau pembolehubah. Dalam tatatanda biasa, untuk fungsi tertentu f bagi pembolehubah tunggal x, jumlah pembezaan tertib 1 df diberikan oleh, [lateks]df=f^{1}(x)dx[/lateks]. Ini bermakna untuk perubahan paling kecil dalam x (iaitu d x), akan terdapat f (1)(x)d x perubahan dalam f.
Menggunakan had seseorang boleh berakhir dengan definisi ini seperti berikut. Andaikan ∆ x ialah perubahan dalam x pada titik arbitrari x dan ∆ f ialah perubahan sepadan dalam fungsi f. Ia boleh ditunjukkan bahawa ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, dengan ϵ ialah ralat. Sekarang, had ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (menggunakan takrif terbitan yang dinyatakan sebelum ini) dan dengan itu, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Oleh itu, adalah mungkin untuk simpulkan bahawa, ∆ x→ 0 ϵ=0. Sekarang, menandakan ∆ x→ 0 ∆ f sebagai d f dan ∆ x→ 0 ∆ x sebagai d x takrifan pembezaan diperolehi dengan teliti.
Sebagai contoh, pembezaan fungsi [lateks]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateks] ialah [lateks](3x^{2}+4)dx[/lateks].
Dalam kes fungsi dua atau lebih pembolehubah, jumlah pembezaan fungsi ditakrifkan sebagai jumlah pembezaan dalam arah setiap pembolehubah bebas. Secara matematik, ia boleh dinyatakan sebagai [lateks]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Apakah perbezaan antara derivatif dan pembezaan?
• Derivatif merujuk kepada kadar perubahan fungsi manakala pembezaan merujuk kepada perubahan sebenar fungsi, apabila pembolehubah bebas tertakluk kepada perubahan.
• Derivatif diberikan oleh [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/lateks], tetapi pembezaan diberikan oleh [lateks]df=f^{1}(x)dx[/latex].
