Perbezaan Antara Penyepaduan dan Penjumlahan

2024 Pengarang: Alex Aldridge | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 13:46

Integrasi lwn Penjumlahan

Dalam matematik sekolah menengah atas, penyepaduan dan penjumlahan sering dijumpai dalam operasi matematik. Mereka nampaknya digunakan sebagai alat yang berbeza dan dalam situasi yang berbeza, tetapi mereka berkongsi hubungan yang sangat rapat.

Lagi tentang Penjumlahan

Penjumlahan ialah operasi menambah jujukan nombor dan operasi selalunya dilambangkan dengan huruf Yunani sigma besar Σ. Ia digunakan untuk menyingkatkan penjumlahan dan sama dengan jumlah/jumlah jujukan. Mereka sering digunakan untuk mewakili siri, yang pada asasnya adalah urutan tak terhingga yang disimpulkan. Ia juga boleh digunakan untuk menunjukkan jumlah vektor, matriks atau polinomial.

Penjumlahan biasanya dilakukan untuk julat nilai yang boleh diwakili oleh istilah umum, seperti siri yang mempunyai istilah biasa. Titik permulaan dan titik akhir penjumlahan masing-masing dikenali sebagai sempadan bawah dan sempadan atas penjumlahan.

Sebagai contoh, jumlah jujukan a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n ialah₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n yang boleh diwakili dengan mudah menggunakan tatatanda penjumlahan sebagai ∑ _i=1 a_{i; i dipanggil indeks penjumlahan.}

Banyak variasi digunakan untuk penjumlahan berdasarkan aplikasi. Dalam sesetengah kes, sempadan atas dan sempadan bawah boleh diberikan sebagai selang atau julat, seperti ∑_1≤i≤100 a_i dan ∑_{i∈[1, 100]} a_i Atau ia boleh diberikan sebagai satu set nombor seperti ∑_i∈P a_{i, dengan P ialah set yang ditentukan.}

Dalam sesetengah kes, dua atau lebih tanda sigma boleh digunakan, tetapi ia boleh digeneralisasikan seperti berikut; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Selain itu, penjumlahan mengikut banyak peraturan algebra. Memandangkan operasi terbenam ialah penambahan, banyak peraturan biasa algebra boleh digunakan pada jumlah itu sendiri dan untuk istilah individu yang digambarkan oleh penjumlahan.

Lagi tentang Integrasi

Penggabungjalinan ditakrifkan sebagai proses terbalik pembezaan. Tetapi dalam pandangan geometrinya ia juga boleh dianggap sebagai kawasan yang dikelilingi oleh lengkung fungsi dan paksi. Oleh itu, pengiraan luas memberikan nilai kamiran pasti seperti yang ditunjukkan dalam rajah.

Sumber Imej:

Nilai kamiran pasti sebenarnya ialah hasil tambah bagi jalur kecil di dalam lengkung dan paksi. Luas setiap jalur ialah tinggi×lebar pada titik pada paksi yang dipertimbangkan. Lebar ialah nilai yang boleh kita pilih, katakan ∆x. Dan ketinggian adalah lebih kurang nilai fungsi pada titik yang dipertimbangkan, katakan f (x_{i). Daripada rajah, adalah jelas bahawa lebih kecil jalur adalah lebih baik jalur itu muat di dalam kawasan sempadan, oleh itu anggaran nilai yang lebih baik.}

Jadi, secara amnya kamiran pasti I, antara titik a dan b (iaitu dalam selang [a, b] di mana a<b), boleh diberikan sebagai I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, dengan n ialah bilangan jalur (n=(b-a)/∆x). Penjumlahan kawasan ini boleh diwakili dengan mudah menggunakan tatatanda penjumlahan seperti I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Oleh kerana anggaran lebih baik apabila ∆x lebih kecil, kita boleh mengira nilai apabila ∆x→0. Oleh itu, adalah munasabah untuk mengatakan I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Sebagai generalisasi daripada konsep di atas, kita boleh memilih ∆x berdasarkan selang yang dipertimbangkan yang diindeks oleh i (memilih lebar kawasan berdasarkan kedudukan). Kemudian kita dapat

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Ini dikenali sebagai Kamiran Reimann bagi fungsi f (x) dalam selang [a, b]. Dalam kes ini a dan b dikenali sebagai sempadan atas dan sempadan bawah kamiran. Kamiran Reimann ialah bentuk asas bagi semua kaedah penyepaduan.

Pada dasarnya, penyepaduan ialah penjumlahan luas apabila lebar segi empat tepat adalah sangat kecil.

Apakah perbezaan antara Penyepaduan dan Penjumlahan?

• Penjumlahan ialah menjumlahkan jujukan nombor. Biasanya, penjumlahan diberikan dalam bentuk ini ∑_i=1 a_{i apabila istilah dalam urutan mempunyai corak dan boleh dinyatakan menggunakan istilah umum.}

• Penyepaduan pada asasnya ialah kawasan yang dibatasi oleh lengkung fungsi, paksi dan had atas dan bawah. Kawasan ini boleh diberikan sebagai jumlah kawasan yang lebih kecil termasuk dalam kawasan sempadan.

• Penjumlahan melibatkan nilai diskret dengan sempadan atas dan bawah, manakala penyepaduan melibatkan nilai berterusan.

• Penyepaduan boleh ditafsirkan sebagai bentuk penjumlahan khas.

• Dalam kaedah pengiraan berangka, penyepaduan sentiasa dilakukan sebagai penjumlahan.