Associative vs Commutative
Dalam kehidupan seharian kita, kita perlu menggunakan nombor setiap kali kita perlu mendapatkan ukuran sesuatu. Di kedai runcit, di stesen minyak, dan juga di dapur, kita perlu menambah, menolak, dan mendarab dua atau lebih kuantiti. Daripada amalan kami, kami melakukan pengiraan ini dengan mudah. Kami tidak pernah perasan atau mempersoalkan mengapa kami melakukan operasi ini dengan cara khusus ini. Atau mengapa pengiraan ini tidak boleh dilakukan dengan cara yang berbeza. Jawapannya tersembunyi dalam cara operasi ini ditakrifkan dalam bidang matematik algebra.
Dalam algebra, operasi yang melibatkan dua kuantiti (seperti penambahan) ditakrifkan sebagai operasi binari. Lebih tepat lagi ia adalah operasi antara dua elemen daripada set dan elemen ini dipanggil 'operand'. Banyak operasi dalam matematik termasuk operasi aritmetik yang dinyatakan sebelum ini dan yang ditemui dalam teori set, algebra linear dan logik matematik boleh ditakrifkan sebagai operasi binari.
Terdapat satu set peraturan yang mengawal berkaitan dengan operasi binari tertentu. Sifat bersekutu dan komutatif ialah dua sifat asas bagi operasi binari.
Lagi tentang Harta Komutatif
Andaikan beberapa operasi binari, dilambangkan dengan simbol ⊗, dilakukan pada unsur A dan B. Jika susunan operan tidak menjejaskan hasil operasi, maka operasi itu dikatakan komutatif. iaitu jika A ⊗ B=B ⊗ A maka operasi adalah komutatif.
Operasi aritmetik penambahan dan pendaraban adalah komutatif. Susunan nombor yang ditambah atau didarab bersama tidak menjejaskan jawapan akhir:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Tetapi dalam kes pembahagian perubahan dalam susunan memberikan timbal balik yang lain, dan dalam penolakan perubahan memberikan negatif yang lain. Oleh itu, A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 dan 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0.8 dan 5 ÷ 4=1.25 [dalam kes ini A, B ≠ 1 dan 0]
Malah, penolakan itu dikatakan anti-komutatif; di mana A – B=– (B – A).
Selain itu, penghubung logik, kata hubung, disjungsi, implikasi, dan kesetaraan, juga adalah komutatif. Fungsi kebenaran juga komutatif. Kesatuan operasi yang ditetapkan dan persilangan adalah komutatif. Penambahan dan hasil darab skalar bagi vektor juga adalah komutatif.
Tetapi penolakan vektor dan hasil vektor bukan komutatif (hasil vektor dua vektor adalah anti-komutatif). Penambahan matriks adalah komutatif, tetapi pendaraban dan penolakan tidak komutatif.(Pendaraban dua matriks boleh menjadi komutatif dalam kes khas, seperti pendaraban matriks dengan songsangannya atau matriks identiti; tetapi pastinya matriks tidak komutatif jika matriks tidak mempunyai saiz yang sama)
Lagi tentang Harta Bersekutu
Operasi binari dikatakan bersekutu jika susunan pelaksanaan tidak menjejaskan keputusan apabila dua atau lebih kejadian pengendali hadir. Pertimbangkan unsur A, B dan C dan operasi binari ⊗. Operasi ⊗ dikatakan bersekutu jika
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Daripada fungsi asas aritmetik, hanya penambahan dan pendaraban adalah bersekutu.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Tolak dan bahagi tidak bersekutu;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 dan (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2.4 dan (5 ÷ 4) ÷ 3=0.2666
Pencacahan penghubung logik, konjungsi dan kesetaraan adalah bersekutu, begitu juga kesatuan operasi yang ditetapkan dan persilangan. Penambahan matriks dan vektor adalah bersekutu. Hasil darab skalar bagi vektor adalah bersekutu, tetapi hasil darab vektor tidak. Pendaraban matriks adalah bersekutu hanya dalam keadaan khas.
Apakah perbezaan antara Harta Komutatif dan Bersekutu?
• Kedua-dua sifat bersekutu dan sifat komutatif ialah sifat istimewa bagi operasi binari, dan sesetengahnya memenuhinya dan ada yang tidak.
• Sifat ini boleh dilihat dalam pelbagai bentuk operasi algebra dan operasi binari lain dalam matematik, seperti persilangan dan kesatuan dalam teori set atau penghubung logik.
• Perbezaan antara komutatif dan bersekutu ialah sifat komutatif menyatakan bahawa susunan unsur tidak mengubah hasil akhir manakala sifat bersekutu menyatakan, bahawa susunan operasi dilakukan, tidak menjejaskan jawapan akhir.
