Fungsi Diskret lwn Fungsi Berterusan
Fungsi ialah salah satu kelas objek matematik yang paling penting, yang digunakan secara meluas dalam hampir semua subbidang matematik. Seperti namanya, kedua-dua fungsi diskret dan fungsi berterusan ialah dua jenis fungsi khas.
Fungsi ialah hubungan antara dua set yang ditakrifkan sedemikian rupa sehingga bagi setiap elemen dalam set pertama, nilai yang sepadan dengannya dalam set kedua adalah unik. Biarkan f menjadi fungsi yang ditakrifkan daripada set A kepada set B. Kemudian bagi setiap x ϵ A, simbol f (x) menandakan nilai unik dalam set B yang sepadan dengan x. Ia dipanggil imej bagi x di bawah f. Oleh itu, hubungan f dari A ke B ialah fungsi, jika dan hanya jika untuk, setiap xϵ A dan y ϵ A; jika x=y maka f (x)=f (y). Set A dipanggil domain fungsi f, dan ia adalah set di mana fungsi itu ditakrifkan.
Sebagai contoh, pertimbangkan hubungan f dari R ke R yang ditakrifkan oleh f (x)=x + 2 untuk setiap xϵ A. Ini ialah fungsi yang domainnya ialah R, kerana bagi setiap nombor nyata x dan y, x=y membayangkan f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Tetapi hubungan g dari N ke N ditakrifkan oleh g (x)=a, di mana 'a' ialah faktor perdana bagi x bukan fungsi sebagai g (6)=3, serta g (6)=2.
Apakah fungsi diskret?
Fungsi diskret ialah fungsi yang domainnya paling banyak boleh dikira. Ringkasnya, ini bermakna anda boleh membuat senarai yang merangkumi semua elemen domain.
Sebarang set terhingga paling banyak boleh dikira. Set nombor asli dan set nombor rasional adalah contoh untuk paling banyak set tak terhingga boleh dikira. Set nombor nyata dan set nombor tak rasional tidak boleh dikira. Kedua-dua set tidak boleh dikira. Ini bermakna mustahil untuk membuat senarai yang merangkumi semua elemen set tersebut.
Salah satu fungsi diskret yang paling biasa ialah fungsi faktorial. f:N U{0}→N secara rekursif ditakrifkan oleh f (n)=n f (n-1) bagi setiap n ≥ 1 dan f (0)=1 dipanggil fungsi faktorial. Perhatikan bahawa domainnya N U{0} paling banyak boleh dikira.
Apakah itu fungsi berterusan?
Biar f menjadi fungsi sedemikian rupa sehingga bagi setiap k dalam domain f, f (x)→ f (k) sebagai x → k. Maka f ialah fungsi selanjar. Ini bermakna bahawa adalah mungkin untuk membuat f (x) sewenang-wenangnya menghampiri f (k) dengan membuat x cukup dekat dengan k untuk setiap k dalam domain f.
Pertimbangkan fungsi f (x)=x + 2 pada R. Ia boleh dilihat sebagai x → k, x + 2 → k + 2 iaitu f (x)→ f (k). Oleh itu, f ialah fungsi selanjar. Sekarang, pertimbangkan g pada nombor nyata positif g (x)=1 jika x > 0 dan g (x)=0 jika x=0. Kemudian, fungsi ini bukan fungsi berterusan kerana had g (x) tidak wujud (dan oleh itu ia tidak sama dengan g (0)) sebagai x → 0.
Apakah perbezaan antara fungsi diskret dan berterusan?
• Fungsi diskret ialah fungsi yang domainnya paling banyak boleh dikira tetapi ia tidak semestinya berlaku dalam fungsi berterusan.
• Semua fungsi selanjar ƒ mempunyai sifat ƒ(x)→ƒ(k) sebagai x → k untuk setiap x dan untuk setiap k dalam domain ƒ, tetapi ia tidak berlaku dalam beberapa fungsi diskret.
