Pembezaan lwn Derivatif
Dalam kalkulus pembezaan, terbitan dan pembezaan berkait rapat, tetapi sangat berbeza, dan digunakan untuk mewakili dua konsep matematik penting yang berkaitan dengan fungsi.
Apakah itu terbitan?
Terbitan fungsi mengukur kadar perubahan nilai fungsi apabila inputnya berubah. Dalam fungsi berbilang pembolehubah, perubahan dalam nilai fungsi bergantung kepada arah perubahan nilai pembolehubah bebas. Oleh itu, dalam kes sedemikian, arah tertentu dipilih dan fungsi dibezakan dalam arah tertentu itu. Derivatif itu dipanggil derivatif arah. Terbitan separa ialah jenis terbitan berarah khas.
Terbitan bagi fungsi bernilai vektor f boleh ditakrifkan sebagai had [lateks]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/lateks] di mana sahaja ia wujud secara terhingga. Seperti yang dinyatakan sebelum ini, ini memberi kita kadar peningkatan fungsi f sepanjang arah vektor u. Dalam kes fungsi nilai tunggal, ini mengurangkan kepada takrifan terbitan yang terkenal, [lateks]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/lateks]
Sebagai contoh, [lateks]f(x)=x^{3}+4x+5[/lateks] boleh dibezakan di mana-mana, dan terbitan adalah sama dengan had, [lateks]\\lim_{h \\hingga 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/lateks], iaitu sama dengan [lateks]3x^{2}+4[/lateks]. Terbitan fungsi seperti [lateks]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/lateks] wujud di mana-mana. Mereka masing-masing sama dengan fungsi [lateks]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/lateks].
Ini dikenali sebagai terbitan pertama. Biasanya terbitan pertama bagi fungsi f dilambangkan dengan f (1) Sekarang menggunakan tatatanda ini, adalah mungkin untuk mentakrifkan terbitan tertib tinggi. [lateks]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\hingga 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/lateks] ialah terbitan arah tertib kedua, dan menandakan n th derivatif oleh f (n) untuk setiap n, [lateks]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\hingga 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/lateks], mentakrifkan n th terbitan.
Apakah itu pembezaan?
Pembezaan ialah proses mencari terbitan bagi fungsi boleh dibezakan. D-operator dilambangkan dengan D mewakili pembezaan dalam beberapa konteks. Jika x ialah pembolehubah bebas, maka D ≡ d/dx. Pengendali D ialah pengendali linear, iaitu untuk mana-mana dua fungsi yang boleh dibezakan f dan g dan pemalar c, berikutan sifat yang dipegang.
Saya. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Menggunakan D-operator, peraturan lain yang berkaitan dengan pembezaan boleh dinyatakan seperti berikut. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 dan D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Sebagai contoh, apabila F(x)=x 2sin x dibezakan berkenaan dengan x menggunakan peraturan yang diberikan, jawapannya ialah 2 x sin x + x2cos x.
Apakah perbezaan antara pembezaan dan terbitan?• Derivatif merujuk kepada kadar perubahan fungsi • Pembezaan ialah proses mencari terbitan fungsi. |
