Persamaan Pembezaan Linear lwn Tak Linear
Persamaan yang mengandungi sekurang-kurangnya satu pekali pembezaan atau terbitan pembolehubah yang tidak diketahui dikenali sebagai persamaan pembezaan. Persamaan pembezaan boleh sama ada linear atau bukan linear. Skop artikel ini adalah untuk menerangkan apa itu persamaan pembezaan linear, apakah persamaan pembezaan tak linear dan apakah perbezaan antara persamaan pembezaan linear dan bukan linear.
Sejak pembangunan kalkulus pada abad ke-18 oleh ahli matematik seperti Newton dan Leibnitz, persamaan pembezaan telah memainkan peranan penting dalam kisah matematik. Persamaan pembezaan adalah sangat penting dalam matematik kerana julat aplikasinya. Persamaan pembezaan berada di tengah-tengah setiap model yang kami bangunkan untuk menerangkan sebarang senario atau peristiwa di dunia sama ada dalam fizik, kejuruteraan, kimia, statistik, analisis kewangan atau biologi (senarai itu tidak berkesudahan). Malah, sehingga kalkulus menjadi teori yang mantap, alat matematik yang betul tidak tersedia untuk menganalisis masalah yang menarik dalam alam semula jadi.
Persamaan yang terhasil daripada aplikasi tertentu kalkulus mungkin sangat kompleks dan kadangkala tidak boleh diselesaikan. Walau bagaimanapun, ada yang boleh kita selesaikan, tetapi mungkin kelihatan sama dan mengelirukan. Oleh itu, untuk mengenal pasti lebih mudah persamaan pembezaan dikategorikan mengikut tingkah laku matematiknya. Linear dan bukan linear adalah satu pengkategorian sedemikian. Adalah penting untuk mengenal pasti perbezaan antara persamaan pembezaan linear dan bukan linear.
Apakah itu Persamaan Pembezaan Linear?
Andaikan f: X→Y dan f(x)=y, persamaan pembezaan tanpa sebutan tak linear bagi fungsi y yang tidak diketahui dan terbitannya dikenali sebagai persamaan pembezaan linear.
Ia mengenakan syarat bahawa y tidak boleh mempunyai sebutan indeks yang lebih tinggi seperti y2, y3, … dan gandaan derivatif seperti sebagai
Ia juga tidak boleh mengandungi sebutan bukan linear seperti Sin y, e y ^-2, atau ln y. Ia mengambil bentuk,
di mana y dan g ialah fungsi bagi x. Persamaan ialah persamaan pembezaan tertib n, iaitu indeks terbitan tertib tertinggi.
Dalam persamaan pembezaan linear, pengendali pembezaan ialah pengendali linear dan penyelesaiannya membentuk ruang vektor. Hasil daripada sifat linear set penyelesaian, gabungan linear penyelesaian juga merupakan penyelesaian kepada persamaan pembezaan. Iaitu, jika y1 dan y2 ialah penyelesaian bagi persamaan pembezaan, maka C1 y 1+ C2 y2 juga merupakan penyelesaian.
Kelinearan persamaan hanyalah satu parameter pengelasan, dan ia boleh dikategorikan lagi kepada persamaan pembezaan homogen atau tidak homogen dan biasa atau separa. Jika fungsinya ialah g=0 maka persamaan itu ialah persamaan pembezaan homogen linear. Jika f ialah fungsi bagi dua atau lebih pembolehubah tidak bersandar (f: X, T→Y) dan f(x, t)=y, maka persamaan itu ialah persamaan pembezaan separa linear.
Kaedah penyelesaian untuk persamaan pembezaan adalah bergantung kepada jenis dan pekali persamaan pembezaan. Kes paling mudah timbul apabila pekali adalah malar. Contoh klasik untuk kes ini ialah undang-undang gerakan kedua Newton dan pelbagai aplikasinya. Hukum kedua Newton menghasilkan persamaan pembezaan linear tertib kedua dengan pekali malar.
Apakah itu Persamaan Pembezaan Tak Linear?
Persamaan yang mengandungi sebutan tak linear dikenali sebagai persamaan pembezaan bukan linear.
Semua di atas ialah persamaan pembezaan tak linear. Persamaan pembezaan tak linear sukar untuk diselesaikan, oleh itu, kajian rapi diperlukan untuk mendapatkan penyelesaian yang betul. Dalam kes persamaan pembezaan separa, kebanyakan persamaan tidak mempunyai penyelesaian umum. Oleh itu, setiap persamaan perlu dirawat secara bebas.
Persamaan Navier-Stokes dan persamaan Euler dalam dinamik bendalir, persamaan medan Einstein bagi relativiti am adalah persamaan pembezaan separa tak linear yang terkenal. Kadangkala penggunaan persamaan Lagrange pada sistem pembolehubah boleh menghasilkan sistem persamaan pembezaan separa tak linear.
Apakah perbezaan antara Persamaan Pembezaan Linear dan Bukan Linear?
• Persamaan pembezaan, yang hanya mempunyai sebutan linear bagi pembolehubah tidak diketahui atau bersandar dan terbitannya, dikenali sebagai persamaan pembezaan linear. Ia tidak mempunyai istilah dengan pembolehubah bersandar indeks yang lebih tinggi daripada 1 dan tidak mengandungi sebarang gandaan terbitannya. Ia tidak boleh mempunyai fungsi tak linear seperti fungsi trigonometri, fungsi eksponen dan fungsi logaritma berkenaan dengan pembolehubah bersandar. Mana-mana persamaan pembezaan yang mengandungi istilah yang disebut di atas ialah persamaan pembezaan tak linear.
• Penyelesaian persamaan pembezaan linear mencipta ruang vektor dan pengendali pembezaan juga ialah pengendali linear dalam ruang vektor.
• Penyelesaian persamaan pembezaan linear adalah lebih mudah dan penyelesaian umum wujud. Untuk persamaan tak linear, dalam kebanyakan kes, penyelesaian umum tidak wujud dan penyelesaiannya mungkin khusus masalah. Ini menjadikan penyelesaian lebih sukar daripada persamaan linear.
