Perbezaan Antara Kamiran Riemann dan Kamiran Lebesgue

2024 Pengarang: Alex Aldridge | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 13:46

Riemann Integral lwn Lebesgue Integral

Integrasi ialah topik utama dalam kalkulus. Dalam erti kata yang lebih luas, integrasi boleh dilihat sebagai proses terbalik pembezaan. Apabila memodelkan masalah dunia sebenar, adalah mudah untuk menulis ungkapan yang melibatkan derivatif. Dalam keadaan sedemikian, operasi penyepaduan diperlukan untuk mencari fungsi, yang memberikan terbitan tertentu.

Dari sudut lain, penyepaduan ialah proses, yang merumuskan hasil darab fungsi ƒ(x) dan δx, dengan δx cenderung kepada had tertentu. Inilah sebabnya, kami menggunakan simbol integrasi sebagai ∫. Simbol ∫ sebenarnya, apa yang kita perolehi dengan meregangkan huruf s untuk merujuk kepada jumlah.

Riemann Integral

Pertimbangkan fungsi y=ƒ(x). Kamiran y antara a dan b, di mana a dan b tergolong dalam set x, ditulis sebagai _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Ini dipanggil kamiran pasti bagi fungsi bernilai tunggal dan selanjar y=ƒ(x) antara a dan b. Ini memberikan kawasan di bawah lengkung antara a dan b. Ini juga dipanggil integral Riemann. Riemann integral telah dicipta oleh Bernhard Riemann. Kamiran Riemann bagi fungsi selanjar adalah berdasarkan ukuran Jordan, oleh itu, ia juga ditakrifkan sebagai had hasil tambah Riemann bagi fungsi tersebut. Untuk fungsi bernilai sebenar yang ditakrifkan pada selang tertutup, kamiran Riemann bagi fungsi berkenaan dengan partition x₁, x₂, …, x n _{ditakrifkan pada selang [a, b] dan t}1_{, t}2_{, …, t n}, di mana x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 untuk setiap i ε {1, 2, …, n}, jumlah Riemann ditakrifkan sebagai Σ_{i=o hingga n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue ialah satu lagi jenis kamiran, yang merangkumi pelbagai jenis kes berbanding kamiran Riemann. Integral lebesgue telah diperkenalkan oleh Henri Lebesgue pada tahun 1902. Integrasi Legesgue boleh dianggap sebagai generalisasi integrasi Riemann.

Mengapa kita perlu mengkaji kamiran lain?

Mari kita pertimbangkan fungsi ciri ƒ_{A (x)=}{_{0 jika, x bukan ε A}^{1 jika, x ε A}pada set A. Kemudian gabungan linear terhingga bagi fungsi ciri, yang ditakrifkan sebagai F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) dipanggil fungsi mudah jika E} i _{boleh diukur untuk setiap i. Kamiran Lebesgue bagi F (x) di atas E dilambangkan dengan} E_{∫ ƒ(x)dx. Fungsi F (x) bukan Riemann boleh disepadukan. Oleh itu kamiran Lebesgue ialah frasa semula kamiran Riemann, yang mempunyai beberapa sekatan pada fungsi yang hendak disepadukan.}

Apakah perbezaan antara Riemann Integral dan Lebesgue Integral?

· Kamiran Lebesgue ialah bentuk generalisasi kamiran Riemann.

· Kamiran Lebesgue membenarkan tak terhingga ketakselanjaran yang boleh dikira, manakala kamiran Riemann membenarkan bilangan ketakselanjaran terhingga.