Perbezaan Antara Jujukan Aritmetik dan Jujukan Geometrik

2024 Pengarang: Alex Aldridge | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-17 23:41

Jujukan Aritmetik lwn Jujukan Geometri

Kajian tentang pola nombor dan tingkah lakunya merupakan kajian penting dalam bidang matematik. Selalunya corak ini boleh dilihat secara semula jadi dan membantu kita menerangkan tingkah laku mereka dalam sudut pandangan saintifik. Jujukan aritmetik dan jujukan Geometri ialah dua daripada corak asas yang berlaku dalam nombor dan sering ditemui dalam fenomena semula jadi.

Jujukan ialah set nombor tersusun. Bilangan unsur dalam jujukan boleh sama ada terhingga atau tidak terhingga.

Lebih lanjut tentang Jujukan Aritmetik (Kemajuan Aritmetrik)

Jujukan aritmetik ditakrifkan sebagai jujukan nombor dengan perbezaan tetap antara setiap sebutan yang berturutan. Ia juga dikenali sebagai janjang aritmetik.

Jujukan Aritmetik ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; di mana a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, dan seterusnya.}

Jika sebutan awal ialah a₁ dan perbezaan sepunya ialah d, maka sebutan n^{th bagi jujukan diberikan oleh;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Dengan mengambil keputusan di atas dengan lebih lanjut, istilah n^{th boleh diberikan juga sebagai;}

a_n =a_m + (n-m)d, dengan a_{m ialah istilah rawak dalam urutan supaya n > m.}

Set nombor genap dan set nombor ganjil ialah contoh termudah bagi jujukan aritmetik, di mana setiap jujukan mempunyai perbezaan sepunya (d) sebanyak 2.

Bilangan sebutan dalam urutan boleh sama ada tidak terhingga atau terhingga. Dalam kes tak terhingga (n → ∞), jujukan cenderung kepada infiniti bergantung pada perbezaan sepunya (a_{n → ±∞). Jika perbezaan sepunya adalah positif (d > 0), jujukan cenderung kepada infiniti positif dan, jika perbezaan sepunya adalah negatif (d < 0), ia cenderung kepada infiniti negatif. Jika istilah adalah terhingga, jujukannya juga terhingga.}

Jumlah sebutan dalam jujukan aritmetik dikenali sebagai siri aritmetik: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{dan S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] memberikan nilai siri (S}n)

Lagi tentang Jujukan Geometrik (Kemajuan Geometrik)

Jujukan geometri ditakrifkan sebagai jujukan di mana hasil bagi mana-mana dua sebutan berturut-turut ialah pemalar. Ini juga dikenali sebagai janjang geometri.

Jujukan geometri ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; di mana a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, dan seterusnya, dengan r ialah nombor nyata.}

Lebih mudah untuk mewakili jujukan geometri menggunakan nisbah sepunya (r) dan sebutan awal (a). Oleh itu jujukan geometri ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Bentuk umum bagi n^th istilah yang diberikan oleh a_n =a₁r ^n-1. (Kehilangan subskrip istilah awal ⇒ a_n =ar^n-1)

Jujukan geometri juga boleh terhingga atau tak terhingga. Jika bilangan sebutan adalah terhingga, jujukan itu dikatakan terhingga. Dan jika istilah adalah tak terhingga, jujukan boleh sama ada tak terhingga atau terhingga bergantung pada nisbah r. Nisbah sepunya mempengaruhi banyak sifat dalam jujukan geometri.

r > o	0 < r < +1	Jujukan menumpu – pereputan eksponen, iaitu an → 0, n → ∞
	r=1	Jujukan tetap, iaitu an=pemalar
	r > 1	Jujukan mencapah – pertumbuhan eksponen, iaitu an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Jujukan sedang berayun, tetapi menumpu
	r=1	Jujukan adalah berselang-seli dan malar, iaitu an=±malar
	r < -1	Jujukan berselang-seli dan menyimpang. iaitu an → ±∞, n → ∞
r=0	Jujukan ialah rentetan sifar

N. B: Dalam semua kes di atas, a₁ > 0; jika a₁ < 0, tanda yang berkaitan dengan a_{n akan disongsangkan.}

Selang masa antara lantunan bola mengikut urutan geometri dalam model ideal, dan ia adalah jujukan menumpu.

Jumlah sebutan bagi jujukan geometri dikenali sebagai siri geometri; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Jumlah siri geometri boleh dikira menggunakan formula berikut.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); dengan a ialah sebutan awal dan r ialah nisbah.}

Jika nisbah, r ≤ 1, siri itu menumpu. Untuk siri tak terhingga, nilai penumpuan diberikan oleh S_n=a/(1-r)

Apakah perbezaan antara Jujukan/Kemajuan Aritmetik dan Geometri?

• Dalam jujukan aritmetik, mana-mana dua sebutan berturut-turut mempunyai perbezaan sepunya (d) manakala, dalam jujukan geometri, mana-mana dua sebutan berturut-turut mempunyai hasil bahagi malar (r).

• Dalam jujukan aritmetik, variasi sebutan adalah linear, iaitu garis lurus boleh dilukis melalui semua titik. Dalam siri geometri, variasi adalah eksponen; sama ada membesar atau mereput berdasarkan nisbah biasa.

• Semua jujukan aritmetik tak terhingga adalah mencapah, manakala siri geometri tak terhingga boleh sama ada mencapah atau menumpu.

• Siri geometri boleh menunjukkan ayunan jika nisbah r adalah negatif manakala siri aritmetik tidak memaparkan ayunan