Perbezaan Antara Taburan Binomial dan Normal

2024 Pengarang: Alex Aldridge | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 13:46

Taburan Binomial lwn Normal

Taburan kebarangkalian pembolehubah rawak memainkan peranan penting dalam bidang statistik. Daripada taburan kebarangkalian tersebut, taburan binomial dan taburan normal adalah dua daripada taburan yang paling biasa berlaku dalam kehidupan sebenar.

Apakah itu taburan binomial?

Taburan binomial ialah taburan kebarangkalian sepadan dengan pembolehubah rawak X, iaitu bilangan kejayaan bagi urutan terhingga bagi eksperimen ya/tidak bebas yang setiap satunya mempunyai kebarangkalian kejayaan p. Daripada takrifan X, adalah jelas bahawa ia adalah pembolehubah rawak diskret; oleh itu, taburan binomial adalah diskret juga.

Taburan dilambangkan sebagai X ~ B (n, p) dengan n ialah bilangan eksperimen dan p ialah kebarangkalian kejayaan. Mengikut teori kebarangkalian, kita boleh menyimpulkan bahawa B (n, p) mengikut fungsi jisim kebarangkalian [lateks] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/lateks]. Daripada persamaan ini, boleh disimpulkan lagi bahawa jangkaan nilai X, E(X)=np dan varians X, V(X)=np (1- p).

Sebagai contoh, pertimbangkan percubaan rawak melambung syiling sebanyak 3 kali. Takrifkan kejayaan sebagai memperoleh H, kegagalan sebagai memperoleh T dan pembolehubah rawak X sebagai bilangan kejayaan dalam eksperimen. Kemudian X ~ B (3, 0.5) dan fungsi jisim kebarangkalian X diberikan oleh [lateks] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0.5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/lateks]. Oleh itu, kebarangkalian untuk memperoleh sekurang-kurangnya 2 H ialah P(X ≥ 2)=P (X=2 atau X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0.5²)(0.5¹) + ³ C₃(0.5³)(0.5^{0)=0.375 + 0.125=0.5.}

Apakah taburan normal?

Taburan normal ialah taburan kebarangkalian berterusan yang ditakrifkan oleh fungsi ketumpatan kebarangkalian, [lateks] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/lateks]. Parameter [lateks] \mu dan \\sigma [/lateks] menandakan min dan sisihan piawai bagi populasi yang diminati. Apabila [lateks] \mu=0 dan \\sigma=1 [/lateks] taburan itu dipanggil taburan normal piawai.

Taburan ini dipanggil normal kerana kebanyakan fenomena semula jadi mengikuti taburan normal. Sebagai contoh, IQ populasi manusia adalah taburan normal. Seperti yang dilihat daripada graf ia adalah unimodal, simetri tentang min dan berbentuk loceng. Min, mod, dan median adalah bertepatan. Kawasan di bawah lengkung sepadan dengan bahagian populasi, memenuhi syarat tertentu.

Bahagian populasi dalam selang [lateks] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/lateks], [lateks] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/lateks], [lateks] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/lateks] adalah lebih kurang 68.2%, 95.6% dan 99.8% masing-masing.

Apakah perbezaan antara Taburan Binomial dan Normal?

• Taburan binomial ialah taburan kebarangkalian diskret manakala taburan normal ialah taburan berterusan.
• Fungsi jisim kebarangkalian bagi taburan binomial ialah [lateks]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/lateks], manakala fungsi ketumpatan kebarangkalian taburan normal ialah [lateks] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/lateks]
• Taburan binomial dianggarkan dengan taburan normal dalam keadaan tertentu tetapi bukan sebaliknya.