Laplace lwn Fourier Transforms
Kedua-dua penjelmaan Laplace dan penjelmaan Fourier ialah penjelmaan integral, yang paling biasa digunakan sebagai kaedah matematik untuk menyelesaikan sistem fizikal yang dimodelkan secara matematik. Prosesnya mudah sahaja. Model matematik yang kompleks ditukarkan kepada model yang lebih mudah dan boleh diselesaikan menggunakan transformasi kamiran. Setelah model yang lebih mudah diselesaikan, transformasi kamiran songsang digunakan, yang akan memberikan penyelesaian kepada model asal.
Sebagai contoh, memandangkan kebanyakan sistem fizik menghasilkan persamaan pembezaan, ia boleh ditukarkan kepada persamaan algebra atau kepada persamaan pembezaan yang boleh diselesaikan dengan mudah kepada darjah yang lebih rendah menggunakan penjelmaan kamiran. Kemudian menyelesaikan masalah akan menjadi lebih mudah.
Apakah transformasi Laplace?
Diberi fungsi f (t) pembolehubah nyata t, penjelmaan Laplacenya ditakrifkan oleh kamiran [lateks] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (bila-bila ia wujud), yang merupakan fungsi pembolehubah kompleks s. Ia biasanya dilambangkan dengan L { f (t)}. Penjelmaan Laplace songsang bagi fungsi F (s) diambil sebagai fungsi f (t) sedemikian rupa sehingga L { f (t)}=F (s), dan dalam tatatanda matematik biasa kita tulis, L-1{ F (s)}=f (t). Transformasi songsang boleh dibuat unik jika fungsi null tidak dibenarkan. Seseorang boleh mengenal pasti kedua-dua ini sebagai operator linear yang ditakrifkan dalam ruang fungsi, dan ia juga mudah untuk melihat bahawa, L -1{ L { f (t)}}=f (t), jika fungsi nol tidak dibenarkan.
Jadual berikut menyenaraikan perubahan Laplace bagi beberapa fungsi yang paling biasa.
Apakah transformasi Fourier?
Memandangkan fungsi f (t) pembolehubah nyata t, penjelmaan Laplacenya ditakrifkan oleh kamiran [lateks] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/lateks] (bila-bila ia wujud), dan biasanya dilambangkan dengan F { f (t)}. Penjelmaan songsang F -1{ F (α)} diberikan oleh kamiran [lateks] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\ alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/lateks]. Transformasi Fourier juga linear, dan boleh dianggap sebagai operator yang ditakrifkan dalam ruang fungsi.
Menggunakan penjelmaan Fourier, fungsi asal boleh ditulis seperti berikut dengan syarat fungsi itu hanya mempunyai bilangan ketakselanjaran terhingga dan boleh disepadukan sepenuhnya.
Apakah perbezaan antara Laplace dan Fourier Transforms?
- Transformasi Fourier bagi fungsi f (t) ditakrifkan sebagai [lateks] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\ alpha t}f(t)dt [/lateks], manakala penjelmaan laplacenya ditakrifkan sebagai [lateks] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/lateks].
- Transformasi Fourier ditakrifkan hanya untuk fungsi yang ditakrifkan untuk semua nombor nyata, manakala transformasi Laplace tidak memerlukan fungsi untuk ditakrifkan pada set nombor nyata negatif.
- Transformasi Fourier ialah kes khas transformasi Laplace. Ia boleh dilihat bahawa kedua-duanya bertepatan untuk nombor nyata bukan negatif. (iaitu, ambil s dalam Laplace menjadi iα + β di mana α dan β adalah nyata sehingga e β=1/ √(2ᴫ))
- Setiap fungsi yang mempunyai penjelmaan Fourier akan mempunyai penjelmaan Laplace tetapi bukan sebaliknya.
